Exo loi binomiale

[v.dufloslamotte]

Bonjour !
Pourriez vous m'expliquer la démarche de résolution de ce problème ?
Par ex je ne comprends pas pourquoi des logarythme népérien ont été ajouté...
Bonne journée
Merci!!

[Théo-Paul]

Salut ! J'espère que tu vas bien, tu fais face à un exercice assez difficile qui vaut bien quelques explications en effet

NB : avant de commencer la notation x^k "signifie x puissance k" et >= ou <= signifient réciproquement supérieur ou égal et inférieur ou égal.

[*] Pour se repérer dans ce QCS il faut tout d'abord comprendre dans quelle situation on se trouve, dans notre cas, on est confronté à une loi binomiale puisqu'il n'existe que deux issues possibles qui sont "ils regardent Naruto" ou bien "ils ne regardent pas Naruto". La question qu'on nous pose concerne l'évènement ou ils ne regardent pas l'animé, c'est donc sur celui-ci qu'on va se pencher

Une fois qu'on sait cela, on essaie de déterminer les paramètres en rapport avec la loi que nous donne l'énoncé. Ici on sait que l'évènement binomial qui nous intéresse est répété n fois et possède une probabilité de 0,4, soit p=0,4. On peut aussi en déduire q = 1-p soit 0,6.

Il faut ensuite réussir à traduire la question "quelle est le nombre minimal de journée pour que la probabilité qu'ils ne regardent pas Naruto au cours d'au moins une journée soit supérieure ou égale à 90% (soit 0,9)" en termes mathématiques. Cela nous donne on cherche n tel que P(X >= 1) >= 0,9.

Bon, on a déjà avancé, dans l'équation ci-dessus on peut encore développer un terme qui est notre P(X >= 1).
En effet on sait que cela vaut 1 - P(X = 0)
De là on peut redévelopper l'expression puisque dans une loi binomiale, P(X = k) = (combinaison de k parmi n) x p^k x q^^(n-k).
Donc ici P(X = 0) = combinaison de 0 parmi n (ça fait 1) x 0,4^0 (ça fait 1) x 0,6^n

Si je remets tout ça dans l'équation ça me donne donc 1 - 0,6^n >= 0,9. On fait passer notre 1 de l'autre côté, on obtient - 0,6^n >= - 0,1.
Ensuite on multiplie par (-1) à gauche et à droite histoire d'y voir un peu plus clair (/!\ attention ça change le sens du >= qui devient <=) ce qui donne 0,6^n <= 0,1

Bon, maintenant qu'on a fait une grande partie du chemin on veut déterminer ce satané n qui nous embête pour répondre à la question (et oui pour rappel n représente le nombre minimal de journées qu'on cherche).
C'est la qu'intervient notre cher logarithme népérien, en effet celui-ci va nous aider puisqu'il permet de faire descendre la puissance donc notre n. Il est a noté que le ln est aussi utilisé dans le cas des exponentielles puisque ln(exp(x))=x.

Revenons à nos haricots, donc à notre équation et faisons descendre ce n

On part de 0,6^n <= 0,1 et on utilise notre ln des deux côtés ce qui nous donne : ln(0,6^n) <= ln(0,1) ce qui revient à n x ln(0,6) <= ln(0,1).
Bon là on est super heureux puisque on se dit que y'a juste à passer notre ln(0,6) de l'autre côté et le tour est joué mais nan ...

En effet les tuteurs de stats sont des vicieux donc ils ne nous fournissent pas les valeurs de ln(0,6) et de ln(0,1), on va donc devoir utiliser les propriétés du logarithme.. En revanche on connaît les résultats de différentes valeurs de ln (cf. énoncé).

Bon et bien il reste plus qu'à exprimer les valeurs de notre équation avec les valeurs qu'on a dans l'énonce et promis après c'est fini.

ln(0,1) = ln (1/10) = ln(1) (qui vaut 0) - ln(10)
ln(10) = ln (5 x 2) = ln(5) + ln(2) donc -ln(10) = -ln(5) - ln(2)

Il vaut se rappeler que 0,6 revient à 3/5 (ça vient avec l'entraînement tqt). On a donc ln(0,6) = ln (3/5) = ln(3) - ln(5)

Si on remet tout ça dans notre équation ça donne n x (ln(3)-ln(5)) <= -(ln(5) +ln(2))

On se rappelle que ln est une fonction croissante sur les entiers positifs donc (ln(3) - ln(5)) est <0 donc quand on le fait passer de l'autre côté de l'équation ça change le <= en >= et comme - et - font +, ça annule le signe négatif de notre numérateur.

On isole ENFIN notre n >= (ln(5) + ln(2))/(ln(3) - ln(5))
Grâce à l'énoncé on voit que ça donne en gros 2,3/0,5 ce qui revient à 2,3 x 2 soit environ 4,6. Et comme on nous demande le nombre minimal de journées on on arrondi à l'entier supérieur soit 5, on a enfin résolu cet exo et on peut être fiers .

Bon, néanmoins cet exercice est très difficile et n'a pas beaucoup d'intérêt pédagogique dans le cadre de la loi binomiale, si les profs font tomber un sujet similaire, on n'aura sûrement pas toute la partie ou on a du manipuler les ln.

En espérant t'avoir éclairé, toute la biostatistique te souhaite bon courage
Cordialement, TP

[v.dufloslamotte]

Super merci pour tous ces détails!
Bon week end