Bonsoir !
J'espère que tu vas bien.
Tu as raison, il est parfois possible de passer d'une loi binomiale ou de Poisson à une loi normale.
Cette petite gymnastique peut s'avérer pratique car la loi normale est souvent plus simple à manipuler qu'une loi binomiale ou une loi de Poisson, en particulier pour de grandes valeurs de n et m.
Mais alors, comment faire ?
Pour pouvoir procéder à cette approximation, on utilise le
théorème central limite, qui énonce qu'une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées finit par suivre, quand n est assez grand, une loi normale. En d'autres termes, tu peux prendre n'importe quelle variable aléatoire et, si tous les événements étudiés surviennent un assez grand nombre de fois, considérer que la variable suit une loi normale.
La façon dont on vérifie cette condition est différente en fonction de la loi de départ :
Si la variable suit une loi de
Poisson : pour que l'événement étudié survienne fréquemment, il faut que le paramètre m soit élevé : si m≥5, on peut approximer la loi de Poisson par une loi normale de paramètres (µ=m ; σ=√m)
Si la variable suit une loi
binomiale :
- Tout d'abord, il faut que l'on répète l'expérience un grand nombre de fois : en pratique, on doit avoir n≥30
- Comme la loi binomiale prend en compte deux événements (succès et échec), il faut que les deux soient assez fréquents, ce qui signifie qu'aucun des deux ne doit être rare ni quasi-certain. On considère cette condition vérifiée si np≥5 (i.e. on espère plus de 5 succès) ET nq≥5 (i.e. on espère aussi plus de 5 échecs)
Si ces deux points sont respectés, il est possible d'approximer la loi binomiale par une loi normale de paramètres (µ=np ; σ=√npq)
Pour résumer sur l'approximation d'une loi par une autre :
- Pourquoi : pour simplifier l'analyse ;
- Comment : en s'assurant que tous les événements surviennent un grand nombre de fois, et en adaptant ce qu'implique cette condition à la nature de la loi initiale.
On peut aussi passer d'une loi binomiale à une loi de Poisson. On le fait car dans le cas où le succès est
rare, il est plus simple d'utiliser une loi de Poisson qu'une loi binomiale. La condition à vérifier pour pouvoir le faire est alors que le succès soit effectivement rare : en pratique, il faut que l'on espère peu de succès (np≤5) malgré un nombre important de répétitions de l'expérience (n≥30). On peut alors approximer la loi binomiale de paramètres (n,p) par une loi de Poisson de paramètre m=np.
En espérant t'avoir répondu,
N'hésite pas si tu as d'autres questions à ce sujet !
Paul.
) mais je ne comprends ni Pourquoi on fait ça, ni Quand, ni Comment (tsais le mec qui voit son cours en 144p). 
