loi de probas Tharmo

[chames.23]

saluttttttt la team Biostatsss j'ai une question pour vous. En faisant un QCM sur tharmo dont l'énoncé est le suivant :

"Gwenvaël, rentré en 4ème mais nostalgique de son enfance, décide de jouer avec sa soeur Rozenn âgée de 10 ans à la cocotte en papier. Une fois la couleur annoncée, il est possible de tomber sur une phrase motivante ou alors sur un petit défi sportif. Sur les 8 couleurs proposées dans la cocotte, la probabilité de tomber sur un défi sportif est de 0,75. La cocotte fonctionne pendant 4 tours avant de se déchirer avec l’usure. Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de défis sportifs accumulés."

la solution est P(X<3)≈26,4%

mais pourquoi on utilise P(X<3) alors que je comprends dans la phrase que j'ai mis en gras que la cocotte marche 4 fois avant de se déchirer et non pas 3 fois et à la quatrième elle se déchire.

merciiiiii d'avanceeeeeeee <3

[Charlotte]

Bonjour à toi ! J’espère que tu vas bien et que tu es en pleine forme pour ce début de semestre

No panic pour ce QCS on va revoir ça ensemble dans le détail

Je remets le sujet dans les pièces jointes avec les items

Nous sommes ici dans le cas d’une loi Binomiale , on a:
- 2 issues (défi sportif ou phrase motivante)
- Une expérience répétée n=4 fois de manière indépendante (tu avais bien compris !)

La formule à retenir pour la loi Binomiale est la suivante

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Avec :
• n= le nombre de tentatives -> ici on va choisir 4 fois une couleur
• k = le nombre de succès -> dans cet exercice c’est le nombre de fois où on pioche un défi sportif)
• p= la probabilité de succès -> dans cet exercice la probabilité de succès est la probabilité de piocher un défi sportif soit p=0.75

NB : La loi Binomiale ici s’écrit alors B(4 ;0.75)

Ainsi quand on veut calculer la probabilité de X on calcule la probabilité de k, celle d’avoir choisi parmi les 4 pioches k fois l’issue défi sportif.

L’item P(X<3) = 26.4% se traduit alors par : la probabilité de piocher strictement moins de 3 défis sportifs parmi les 4 tentatives est de 26.4%.

Pour répondre à cet item deux solutions s’offrent à toi
- P (X< 3) = P(X=0) +P(X=1) +P(X=2)
- P(X<3) = 1- (P(X=3) +P(X=4)) car d’après le principe de certitude la somme de toutes les probabilités = 1

Je te remets en pièce jointe le détail du calcul s’il y a un souci dessus n’hésite pas mais je crois que ta question ne portait pas dessus.

Avant de te laisser je te traduis les autres items pour ne plus avoir aucun doute sur ce qui est demandé de calculer !

Item A. P(X=0) -> On veut la probabilité de ne jamais tomber sur un défi sportif parmi les 4 tentatives
Item B. P(X=1) -> On veut la probabilité de tomber une seule fois sur un défi sportif parmi les 4 tentatives
Item C. P(X=3) -> On veut la probabilité que 3 défis sportifs se cachent parmi les 4 couleurs choisies au hasard
Item D. P(X≥2) -> On veut la probabilité d’avoir 2 ou plus de 2 fois un défi sportif parmi les 4 couleurs choisies

J’espère sincèrement que c’est plus clair pour toi maintenant, si ce n’est pas le cas n’hésite pas à reposer une question c’est avec plaisir qu’on te répondra !

Sur ce je te souhaite bon courage de la part de la team Biostats, crois en toi <3<3<3

[chames.23]

Coucouuu tout d’abord merciiiiii pour ta réponse ,
Cependant je ne comprends pas pourquoi on utilise pas X=4 sachant que c’est le max ? Est ce que si dans les réponses possibles il y avait eu (P=X<2) avec un résultat qui était bon ( et donc l’item bon) j’aurai pu le « cocher » correct.
Ce que je veux dire par là et même si le nombre maximum de X possible on peut très bien choisir un nombre inférieur à sa valeur (dans ce cas là, inférieur à 4)

[Camille Rétoret]

Coucouuu, j’espère que tu vas bien !

Ici, le fait que le X = 4 soit le maximum te donne simplement une indication pour résoudre l’exercice.

En effet, on va pouvoir dire que P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1 car on sait que la somme des probabilités de chaque événement est égale à 1 (axiome de certitude de Kolmogorov).
À partir du moment où tu as pu en conclure ça, tu peux résoudre l’exercice.

Tu regardes chaque item, et tu calcules sa probabilité
a. Item A : dans le cas où on a une probabilité avec un X qui est égale à une valeur (0 ici)
On a P(X=0), maintenant tu prends la formule de la Loi binomiale soit :

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Tu remplaces k par 0 car dans cet item on cherche la probabilité de ne jamais tomber sur le défi sportif. Tu remplaces n par 4 car on va répéter l’événement 4 fois ( 4 tentatives), après la cocotte se déchire. Tu remplaces p par la probabilité de succès, qui est ici égale à 0,75
Tu remplaces dans la formule chaque lettre par sa valeur correspondante puis tu calcules

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Tu regardes le résultat donné dans l’énoncé et tu compares avec le tien, ici l’énoncé dit que P(X=0)= 32%. C’est donc un item faux.

b. Item B et C : tu procèdes de la même manière

c. Item D : dans le cas où on a une probabilité avec un X supérieur ou égale à une valeur
Ici, on a P(X ≥ 2), on sait que la somme des probabilités de chaque événement est égale à 1 donc on peut en conclure que P(X ≥ 2) = 1 – (P(X=1)+P(X=0))
Tu calcules séparément P(X=1) et P(X=0) (toujours grâce à la loi binomiale) puis tu remplaces les valeurs numériques trouvées dans les parenthèses. Dans cet exercice, ça faisait P(X ≥ 2) = 1 – (0,004+0,06) = 93,6 %. L’item est faux car dans l’énoncé on nous dit que P(X ≥ 2) = 20%.

d. Item E : dans le cas où on a une probabilité avec un X inférieur à une valeur
Ici, on a P(X < 3), on sait que la somme des probabilités de chaque événement est égale à 1 donc on peut en conclure que P (X < 3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) ou alors pour aller plus rapidement, comme tu sais que P(X= 4) est le maximum, tu peux faire P(X < 3)= 1 – (P(X=4)+P(X=3).
Tu calcules séparément P(X=3) et P(X=4) (toujours grâce à la loi binomiale) puis tu remplaces les valeurs numériques trouvées dans les parenthèses. Dans cet exercice, ça faisait P(X < 3 ) = 26, 4%. L’item est donc vrai.

En effet, si P(X<2) avait était bon, tu aurais pu cocher « vrai ».

Il faut bien comprendre que lorsqu’on nous donne le maximum du nombre de tentative, c’est seulement une indication pour résoudre ton exercice. En effet, tu pourras :
• Remplacer le « n » par ce nombre maximum de tentative, pour calculer la formule de la loi binomiale pour chaque événement
• Trouver un P(X) quand le X est supérieur ou inférieur à une valeur, car comme on sait que 4 est le nombre maximum de tentative, on saura que P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1 et donc si on cherche P(X>2) par exemple, P(X>2) =
o P(X=3)+P(X=4)
o 1- ( P(X=2) +P(X=1) + P(X=0) )

J’espère que c’est plus clair pour toi ! Si tu as d’autres questions n’hésites surtout pas.

La team biostat te souhaite bon courage <3

[chames.23]

Ouiii merci beaucoup pour vos explications !!! ç -a m’a permis de comprendre où je bloquais