Salut 2056 ! J'espère que tu vas bien et que ta reprise s'est bien passée
!
Alors on va reprendre tes questions point par point ! Mais juste pour te prévenir, essaie de poser une question par sujet sur le forum, ça aide les autres à trouver plus facilement des réponses à leur question si quelqu'un l'a déjà posée !
Déjà, pourquoi enlever le dx dans les intégrales ?
Cela est dû à la méthode qu'il faut utiliser pour calculer ton intégrale !
Quand tu calcules : (1) (voir en pièce jointe), cela revient à calculer : (2)
Tu n'as donc pas besoin de dx dans cette soustraction !
Pour plus d'explications, il est peut-être utile que je t'explique ce qu'est "dx", et là c'est d'après ma compréhension et mes recherches donc prend ça avec des pincettes. Quand tu calcules l'intégrale d'une fonction et donc son aire sous la courbe, tu calcules en fait la somme de l'aire d'une infinité de rectangles sous la courbe. Ces rectangles ont une hauteur/longueur qui est l'ordonnée donc f(x) et une largeur qui correspond à la distance entre deux points en abscisse donc entre deux x différents, la distance qui les séparent correspond à ce dx. Généralement, ce dx est censé être infiniment petit pour qu'on ait le plus de rectangles possibles à additionner. Regarde l'image (4) pour t'aider.
Ensuite, pourquoi la constante k disparait-elle ?
Quand tu obtiens la primitive de ta fonction, il n'est effectivement pas rare de retrouver une constante k inconnue. Pourtant lors de la soustraction de F(b)-F(a), le k n'apparait plus. Cela est dû au fait que lors de ta soustraction, le k (étant une constante) garde la même valeur dans F(a) et F(b). Comme on soustrait F(a) à F(b), on soustrait également le k de F(a) au k de F(b), ce qui donne 0, comme s'il n'y avait pas eu du tout de constante.
Voilà un exemple pour mieux visualiser : on a une primitive F(x)=4x²+k avec k = 3, si l'on soustrait F(2) à F(4), on a donc : F(4) - F(2) = (4*4² + 3) - (4*2² + 3) = 4*4² - 4*2² + 3 - 3 = 4*4² - 4*2² + 0. Tu vois donc ici que la constante n'a aucun impact. Il n'est donc pas nécessaire de la garder dans le calcul.
Enfin, pourquoi rajoute-t-on le x dans l'intégrale ?
Attention, ici les intégrales que tu calcules servent à trouver des éléments mathématiques différents qui ne sortent pas de la même formule ! Dans ton premier message, l'intégrale servait à vérifier si f(x) pouvait être une densité de probabilité tandis que dans ton deuxième, l'intégrale te sert à calculer une espérance mathématique.
Tu utilises donc deux formules différentes, respectivement (3) et (5) .
Dans le calcul d'une espérance, il faut toujours calculer la somme des valeurs x prises par la variable aléatoire (VA) multipliées par la probabilité qu'elles apparaissent, ce qui revient pour une VA continue à faire l'intégrale de x (les valeurs possibles de la VA) multipliée par f(x) (qui revient très grossièrement à la proba que la VA prenne la valeur x).
Tu as donc nécessairement besoin de rajouter le x dans l'intégrale pour calculer une espérance. En revanche, effectivement, si tu vérifies que f(x) est bien une densité de probabilité, il ne faut surtout pas rajouter un x comme ça dans l'intégrale.
Pour résumer :
Pourquoi enlever le dx dans les intégrales ? Parce qu'une fois que tu passes le calcul en soustraction de primitives, tu n'en as plus besoin.
Pourquoi la constante k disparait-elle ? Dans le calcul, tu la soustrais obligatoirement par elle même à un moment, ce qui donne 0, la rendant donc sans conséquence sur le calcul.
Pourquoi rajoute-t-on le x dans l'intégrale ? Il s'agit ici de la formule de l'espérance pour une VA continue, qui nécessite de multiplier x par f(x) dans l'intégrale.
Voilà, c'était un peu compliqué à expliquer, j'espère que je ne t'ai pas perdu ! N'hésite pas si tu as d'autres questions
!